1. ประพจน์ (Statement)
ตรรกศาสตร์เป็นวิชาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันของเราเป็นอย่างมากเพราะว่าในสภาพสังคมทุกวันนี้ต้องมีการติดต่อ สื่อสารอยู่ตลอดเวลา ไม่ว่าจะอยู่ลักษณะการพูดหรือเขียนข้อความ ทั้งนี้เพื่อที่จะให้อีกฝ่ายหนึ่งได้เข้าใจ รับรู้ และบางครั้งก็ต้องมี การตัดสินใจ ซึ่งการรับรู้และการตัดสินใจจะเกิดขึ้นได้นั้น ผู้ที่รับฟังหรืออ่านข้อความดังกล่าวนั้น ต้องรู้ว่าข้อความที่พูดหรือเขียนมานั้น เป็นจริงหรือเท็จ
ในการพิจารณาว่าคำพูดหรือข้อความใดเป็นจริงหรือเท็จนั้น จะเกี่ยวข้องกับวิชาตรรกศาสตร์ เพราะวิชาตรรกศาสตร์ เราจะศึกษา ว่าคำพูดหรือข้อความในลักษณะใดที่เป็นจริง คำพูดหรือข้อความใดที่เป็นเท็จ ดังนั้น เราต้องพิจารณาถึงลักษณะของข้อความที่ใช้ในโลกนี้ว่ามีลักษณะใดบ้าง นักเรียนลองพิจารณาข้อความต่อไปนี้
1. กรุงเทพฯเป็นเมืองหลวงของประเทศไทย
2. จังหวัดเชียงใหม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย
3. จังหวัดภูเก็ตเป็นเกาะ
4. 5+3 = 10
5. ไปดูหนังกันไหม
นักเรียนจะพบว่าข้อความ 1 และ 3 เราบอกได้ว่าเป็นจริง ข้อความ 2 และ 4 บอกได้ว่าเป็นเท็จ ส่วนข้อความ 5 เราไม่สามารถบอกได้ว่า จริงหรือเท็จเพราะข้อความนั้นอยู่ในลักษณะคำถาม
ในทางตรรกศาสตร์ เราจึงแบ่งข้อความออกเป็น 2 แบบ คือข้อความที่บ่งบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ซึ่งข้อความในลักษณะนี้ เราเรียกว่า ประพจน์ กับข้อความที่เราไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความในลักษณะเช่นนี้เราไม่เรียกว่าประพจน์ และเรามีข้อตกลงดังนี้
1. เราเรียกข้อความที่เป็นจริงว่าข้อความที่มีค่าความจริงเป็นจริง และใช้ T แทนค่าความจริงเป็นจริง
2. เราเรียกข้อความที่เป็นเท็จว่าข้อความที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ และใช้ F แทนค่าความจริงเป็นเท็จ
ประโยคที่เป็นประพจน์ เช่น 
2. การเชื่อมประพจน์และการหาค่าความจริงของประพจน์
การเชื่อมประพจน์
เนื่องจากในตรรกศาสตร์เราจะศึกษาประโยคในลักษณะใดเป็นจริงหรือประโยคในลักษณะใดเป็นเท็จ ดังนั้นเราจึงศึกษาประโยค ที่มีลักษณะ เป็นประพจน์เท่านั้นและเพื่อสะดวก เรานิยมใช้ p , q , r ,…. แทนประพจน์ที่กำหนด และใช้ T และ F แทนค่าความจริง ที่เป็นจริงและเท็จ ในทางตรรกศาสตร์เรามีตัวเชื่อม ( connectives ) อยู่ 4 ตัว คือ
การหาค่าความจริงของประพจน์
3. ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่สองตัวขึ้นไป
ในการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อมหลาย ๆ ตัวนี้ การหาค่าความจริงต้องหาค่าความจริงของประพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเสียก่อนเพราะการใส่วงเล็บเป็นการบ่งบอกให่รู้ว่าเป็นประพจน์ย่อยเหล่านั้น ต้องเชื่อมกันก่อนที่จะไปเชื่อมกับตัวอื่น ถ้ามีหนังสือบางเล่มไม่ใส่ วงเล็บเขาก็ถือเป็นข้อตกลงว่า ให้หาค่าความจริงนิเสธก่อนจึงไปหาพวกที่เชื่อมด้วย “ Λ ” , “ V ”ต่อไปก็เป็น “→ ” หลังจากนั้นก็เป็น “↔ ” ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไปเราต้องใช้ความรู้เรื่องการหาค่าความจริงพื้นฐานของตัวเชื่อมทั้ง 4 ตัว ที่กล่าวมาแล้ว พร้อมกับค่าความจริงของนิเสธของประพจน์ ซึ่งในการหาค่าความจริงนั้นสามารถแบ่งได้ เป็น 2 กรณี คือ
1. กรณีที่โจทย์ไม่ได้บอกค่าความจริงของประพจน์ย่อยมาให้
การหาค่าความจริงในลักษณะเช่นนี้ เราต้องพิจารณาความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้หมดทุกกรณี ซึ่งจะมีกี่กรณีนั้นก็ต้องดูว่าประพจน์นั้นเกิดจากประพจน์ย่อยกี่ประพจน์ ถ้าประพจน์มี 1 ประพจน์ คือ p ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดก็จะมี 2 กรณี
ถ้าประพจน์ย่อยมี 2 ประพจน์ คือ p กับ q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะมี 4 กรณี และถ้าประพจน์ย่อยมี 3 ประพจน์ คือ p , q , r ค่าความจริงที่จะเป็นไปได้ทั้งหมดจะมา 8 กรณี
สิ่งที่ต้องรู้
1. ประพจน์ย่อย p , q , r …… ซึ่งยังไม่การกำหนดค่าความจริง เราเรียก p , q , r……ว่าเป็นตัวแปรแทนประพจน์ใด ๆ
2. เราเรียกประพจน์ที่เกิดจากการนำตัวแปรแทนประพจน์ใด ๆ มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมว่ารูปแบบของประพจน์
3. เนื่องจากค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์จะมีมากมายหลายกรณี ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าความจริงแต่ละกรณีของประพจน์ย่อย ดังนั้นเพื่อความสะดวก เราจึงนิยมสร้างตารางแสดงค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์
2. กรณีที่โจทย์กำหนดค่าความจริงของประพจน์บางประพจน์มาให้
ในกรณีเช่นนี้ เราไม่จำเป็นต้องสร้างตารางค่าความจริง เราจะใส่ค่าความจริงตรงกับประพจน์ที่โจทย์กำหนดให้
หลังจากนั้นก็หาค่าความจริงของประพจน์ที่เกิดจากตัวเชื่อม โดยการเชื่อมโยงจากค่าความจริงที่รู้แล้ว
สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ เรามีวิธีการตรวจสอบหลายวิธีดังต่อไปนี้
1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริงการตรวจสอบโดยวิธีนี้คือ การสร้างตารางค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ที่เราจะ ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
2. การตรวจสอบโดยหาข้อขัดแย้งวิธีการดังกล่าวนี้ คือวิธีการที่ตรวจสอบว่า รูปแบบของประพจน์ดังกล่าวมีโอกาสเป็นเท็จหรือไม่ เพราะถ้ามีโอกาสเป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว ก็สรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้นการตรวจสอบจะพิจารณาตามรูปแบบของประพจน์ ที่เกิดจากตัวเชื่อมแต่ละแบบดังนี้
2.1 ถ้ารูปแบบของประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบอยู่ในรูปแบบของการเชื่อมด้วย “ หรือ ” ซึ่ง P V Q จะเป็นเท็จกรณีเดียว คือ P และ Q เป็นเท็จทั้งคู่ ดังนั้นถ้าเกิดกรณีเช่นนี้จะได้ว่ารูปแบบของประพจน์ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2.2 ถ้ารูปแบบของประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบอยู่ในรูปแบบของการเชื่อมด้วย “ ถ้า….แล้ว…. ” หลักการตรวจสอบก็ใช้ วิธีการเช่นเดียวกับการเชื่อมด้วย “หรือ” ต่างกันที่ว่ารูปแบบของการเป็นเท็จไม่เหมือนกัน นั่นคือ P → Q มีโอกาสเป็นเท็จกรณีเดียว คือ P เป็นจริง และ Q เป็นเท็จ ตามลำดับ ดังนั้นถ้าเกิดกรณีเช่นนี้จะได้ว่ารูปแบบของประพจน์ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
2.3 ถ้ารูปแบบของประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบอยู่ในรูปแบบของการเชื่อมด้วย “ …ก็ต่อเมื่อ… ” หลักการตรวจสอบเช่นเดียวกับข้อ 2.1 และ 2.2 แต่ต่างกันที่ว่า P ↔ Q มีค่าความจริงเป็นเท็จได้ 2 กรณี ดังนั้นการตรวจสอบว่ามีโอกาสเป็นเท็จได้หรือไม่ ต้องตรวจสอบทั้ง 2 กรณี ถ้ามีกรณีใด กรณีหนึ่งไม่เกิดข้อขัดแย้งก็แสดงว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าว ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า ทั้ง 2 กรณีเกิดข้อขัดแย้งแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าวไม่มีโอกาสเป็นเท็จ นั่นคือต้องเป็นจริงทุกกรณี
5. รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันและนิเสธของประพจน์
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใด จะเรียกว่า เป็นรูปแบบที่สมมูลกันก็ต่อเมื่อรูปแบบของประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
เนื่องจากรูปแบบของประพจน์จะสมมูลกันหรือไม่นั้น เราต้องตรวจสอบค่าความจริงทุกกรณีว่าเหมือนกันหรือไม่ดังนั้นวิธีการตรวจสอบโดยพื้นฐานแล้วคงจะต้องสร้างตารางหาค่าความจริงนำมาตรวจสอบ แต่ในที่นี้จะแนะวิธีการตรวจสอบไว้ 2 กรณี คือ
1. การตรวจสอบโดยสร้างตารางค่าความจริง
2. การตรวจสอบโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์เนื่องจากรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ดังนั้น ถ้านำรูปแบบที่สมมูลกันมาเชื่อมด้วย ↔ ก็จะได้รูปแบบของประพจน์ใหม่ขึ้นมาอีกรูปแบบหนึ่ง และรูปแบบใหม่นี้จะมีลักษณะเป็นสัจนิรันดร์ในทางตรงกันข้าม ถ้ารูปแบบของประพจน์อยู่ในลักษณะ P ↔ Q และรูปแบบดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์แล้วแสดงว่าค่าความจริงของรูปแบบ P↔ Q เป็นจริงทุกกรณี ซึ่งการที่รูปแบบของประพจน์ที่เชื่อมด้วย ↔ มีค่าความจริงเป็นจริงนั้น จะต้องเกิดจากกรณีที่ประพจน์ P กับ Q ต้องมีค่าความจริงเหมือนกันหรือตรงกันนั่นเอง ดังนั้น ในการตรวจสอบว่า P กับ Q สมมูลกันหรือไม่ เราก็นำ P และ Q มาเชื่อมด้วย ↔ แล้วตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ถ้าเป็นก็แสดงว่า P กับ Q นั้นสมมูลกัน ถ้าไม่เป็น ก็แสดงว่า P กับ Q ไม่สมมูลกัน
นิเสธของประพจน์
รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้าม เราเรียกว่า นิเสธของกันและกัน
6. ประโยคเปิด ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
ประโยคเปิด
จากที่กล่าวมาแล้วข้างต้นว่า ประโยคหรือข้อความใดที่มีตัวแปรเข้ามาเกี่ยวข้องและเราไม่สามารถหาค่าความจริงได้ เราเรียกประโยคนั้นว่า ประโยคเปิด
ประโยคเปิดสามารถทำให้เป็นประพจน์ได้ ถ้าเรานำค่าบางค่ามาแทนตัวแปรในประโยคเปิด ซึ่งจะมีผลทำให้เราทราบทันที ว่าประโยคเปิดเหล่านี้เป็นจริงหรือเท็จ
สรุป ประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปรอาจจะเป็นประพจน์ได้ถ้าประกอบด้วย 3 ส่วนที่สำคัญต่อไปนี้
1. ส่วนที่เป็นประโยคเปิด 2. ส่วนที่บ่งบอกถึงเอกภพสัมพัทธ์
3. ส่วนที่บ่งบอกถึงตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งประมาณ
ในวิชาตรรกศาสตร์ จะมีตัวบ่งปริมาณอย่างคร่าว ๆ อยู่ 2 ชนิด คือ
1. ตัวบ่งปริมาณ “ ทั้งหมด ” ( Universal Quantifier ) ได้แก่คำว่า “ ทั้งหมด ” , “ ทุก ” , “ แต่ละ ” เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้ทุกสิ่งทุกอย่างในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์ ∀ ( all ) แทนตัวบ่งปริมาณ “ ทั้งหมด ” นั่นคือ ถ้าให้ P ( x ) แทน ประโยคเปิด หมายถึง สำหรับทุกๆ x ใน U ( เอกภพสัมพัทธ์ ) มีเงื่อนไข P ( x )
2. ตัวบ่งปริมาณ “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” ( Existential Quantifier ) ได้แก่คำว่า “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” , “ มีบางตัว ” เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์ ∃ ( some ) แทนตัวบ่งปริมาณ “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ” นั่นคือ ถ้าให้ P ( x ) แทน ประโยคเปิด หมายถึง มี x บางตัว ใน U ( เอกภพสัมพัทธ์ ) มีเงื่อนไข P ( x )
ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว
1. ประโยค ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
2. ประโยค ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. ประโยค ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4. ประโยค ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด
7. สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
สมมูลของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
แนวข้อสอบตรรกศาสตร์
